\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \subchapter{Limita funkce}{ Nechť $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$. Řekneme, že $f$ má v bodě $a \in \real^{*}$ {\bf{}limitu} $A \in \real^{*}$, jestliže: $$ \forall \eps > 0\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in \cP(a, \delta) \Rightarrow{} f(x) \in \cU(A, \eps) $$ Značíme: \M{\lim_{x\to{}a} f(x) = A} \notes{ \list{ \listItem{$\lim_{x\to{}a} f(x) = A$, pak je funkce definována na nějakém prstencovém okolí bodu $a$. V~bodě $a$ funkce $f$ může a nemusí být definována. Je-li $f$ definována v $a$, pak $f(a)$ nemá vliv na limitu $\lim_{x\to{}a} f(x)$. } \listItem{$\lim_{x\to{}a} f(x)$ neexistuje, existuje nevlastní ($A = \pm\infty$) nebo existuje vlastní ($A \in \real{}$). } \listItem{Limitu počítáme buď ve vlastním bodě ($a \in \real{}$) nebo v nevlastním bodě ($a = \pm\infty$).} } } \scpart{Jiné (ekvivalentní) formulace:}{ $a \in \real{}$, $A \in \real{}$: $$ \lim_{x\to{}a} f(x) = A \Longleftrightarrow{} \forall \eps > 0\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in (a-\delta, a+\delta) - \{a\} \Rightarrow{} f(x) \in (A-\eps, A+\eps) $$ $a \in \real{}$, $A = +\infty$: $$ \lim_{x\to{}\infty} f(x) = A \Longleftrightarrow{} \forall K \in \real{}\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in (a-\delta, a+\delta) - \{a\} \Rightarrow{} f(x) > K $$ \shortdef{Obecně}{$\forall \eps > 0$ $\existss{\delta > 0}$: $f(\cP(a,\delta)) \subset{} \cU(A,\eps)$} } \definition{ Nechť $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$, $a \in \real{}$. Řekneme, že $f$ má v $a$ limitu zprava (zleva) rovnou $A \in \real^{*}$, jestliže: $$ \forall \eps > 0\ \existss{\delta > 0},\ \forall x \in \cP^+(a,\delta) \Rightarrow{} f(x) \in \cU(A, \eps) $$ (Zleva $\cP^-$.) Značíme \M{\lim_{x\to{}a\pm} f(x) = A}. } \observation{ $a \in \real{}$, $A \in \real^{*}$: $$ \lim_{x\to{}a} f(x) = A \Longleftrightarrow{} \lim_{x\to{}a+} f(x) = \lim_{x\to{}a-} f(x) = A $$ \shortdef{Důkaz}{\DCV} } \examples{ \list{ \listItem{ $$ f(x) = \sqrt{x},\ x \in [0, \infty) $$ $$ \lim_{x\to{}25} f(x) = 5 $$ $$ f(x) = \cases{\sqrt{x} & $x \in [0, \infty)-\{25\}$\cr \pi^2/8 & $x = 25$} $$ $$ \lim_{x\to{}25} f(x) = 5 $$ \shortdef{Důkaz z definice}{ Dáno $\eps > 0$, chci $\delta > 0$ tak, aby $$x \in (25-\delta, 25+\delta)-\{25\} \Rightarrow{} \sqrt{x} \in (5-\eps, 5+\eps)$$ $\delta$ volím tak, aby $\sqrt{25+\delta} < 5 + \eps \land{} \sqrt{25-\delta} > 5 - \eps$ $$ \Rightarrow{} \delta \opupon{volím}{=} \min \{(5+\eps)^2-25, 25-(5-\eps)^2\} $$ } } \listItem{$f(x) = c$, $x \in \real{}$: Pak \M{\lim_{x\to{}a} f(x) = c} pro $\forall a \in \real{}$. Dáno $\eps \Rightarrow{} \delta$ libovolné. } \listItem{$f(x) = \sign x$: $$\sign x = \cases{-1 & $x \in (-\infty, 0)$\cr 0 & $x = 0$\cr 1 & $x \in (0,\infty)$}$$ \M{\lim_{x\to{}0} f(x)} neexistuje (neboť \M{\lim_{x\to{}0-} f(x) = -1}, \M{\lim_{x\to{}0+} f(x) = 1}). } \listItem{Dirichletova funkce $D(x) = \bool(x \in Q)$: Nemá ani jednostrannou limitu v žádném bodě $x \in \real{}$. } \listItem{Riemannova funkce: $$ R(x) = \cases{0 & $x \notin \rat$\cr 1/q & $x \in \rat$, $x = p/q$} $$ (viz D1). $$ \lim_{x\to{}a} R(x) = 0\qquad \forall a \in \real{} $$ (Pro každé $\eps$ si najdu oblast, kde z něj nic nevyskočí, a to bude $\delta$.) } } } \scpart{Spojitost}{ Nechť $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$. Funkce $f$ je spojitá v $a \in \real{}$, jestliže $$ \lim_{x\to{}a} f(x) = f(a) $$ \example{ $R(x)$ je spojitá v $\forall x \notin{} \rat{}$. } } \theorem{1}{Heineova věta}{ Nechť $f\colon M \to{} \real{}$, $M \subset{} \real{}$. Nechť $f$ je definována na nějakém prstencovém okolí bodu $a \in \real^{*}$ ($\cP(a,\delta_{0})$). Potom jsou následující dvě tvrzení ekvivalentní: \list{ \listItem{$\lim_{x\to{}a} f(x) = A \in \real^{*}$} \listItem{Pro každou posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^\infty$ splňující pro $\forall n \in \nat$ $x_{n} \in D(f)$, $\lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a$ a $x_{n} \not= a$ platí $\lim_{n\to{}\infty} f(x_{n}) = A$. (Viz D2) } } \penalty-100 \proof{ \scpart{(i) $\Rightarrow$ (ii)}{ \shortdef{Víme}{$\forall \eps > 0$ $\existss \delta > 0$: $f(\cP(a,\delta)) \subset{} \cU(A,\eps)$} Nechť $\{x_{n}\}$ splňuje požadavky (ii), tj. $$\lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a,$$ $$x_{n} \not= a\qquad (\forall n \in \nat{})$$ Tedy k $\eps > 0$: $$\existss{n_{0} \in \nat{}},\ \forall n \ge{} n_{0}:\ x_{n} \in \cU(a,\delta)$$ (neboť $\lim x_{n} = a$). Ale $$x_{n} \not= a\ \forall n \Rightarrow{} \existss{n_{0}},\ \forall n \ge{} n_{0}:\ x_{n} \in \cP(a,\delta)$$ Tedy $$f(x_{n}) \in \cU(A, \eps) \Rightarrow{} \lim_{n\to{}\infty} f(x_{n}) = A$$ } \scpart{(ii) $\Rightarrow$ (i)}{ \shortdef{Sporem}{Předpokládáme, že neplatí (i), ale platí (ii).} Neplatí (i), tedy: \indentLevel{ $$ \lim_{x\to{}a} f(x) \not= A \Longleftrightarrow{} \existss{\eps>0},\ \forall \delta>0\ \existss{x\in \cP(a,\delta)}:\ f(x) \notin{} \cU(A,\eps) $$ Nechť je dáno $n \in \nat{}$. Zkonstruujeme $x_{n}$ tak, že $x_{n} \in \cP(a, {1/n}) \cap{} \cP(a, \delta_{0})$ a $f(x_{n}) \notin{} \cU(A,\eps)$. Toto lze udělat, stačí položit $\delta = 1/n$. To provedu pro $\forall n \in \nat{}$. Nyní máme tedy posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^\infty$. Zřejmě platí: $$ x_{n} \in D(f)\quad (x_{n} \in \cP(a,\delta_{0}),\ \forall n \in \nat{}) $$ $$ x_{n} \not= a\quad \forall n \in \nat{} $$ $$ \lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a\quad (x_{n} \in \cP(a, {1/n}),\ \lim_{n\to{}\infty} {1/n} = 0) $$ Ale \M{\lim_{n\to{}\infty} f(x_{n}) \not= A}, protože jsme si řekli $f(x_{n}) \notin{} \cU(A,\eps)$. \XXX } %: \indentLevel } } } \theorem{2}{o jednoznačnosti limity funkce}{ Funkce $f$ má v každém bodě nanejvýše jednu limitu. \proof{ Nechť $\lim_{x\to{}a} f(x) = A \land{} \lim_{x\to{}a} f(x) = B$. Nechť $\{x_{n}\}$ splňuje $\lim_{n\to{}\infty} x_{n} = a$. $$\becauseof{\ref{Heine}}{\Longrightarrow} \lim f(x_{n}) = A,\ \lim f(x_{n}) = B \Rightarrow{} A = B \becauseof{\ias{}{2}{}}{\Rightarrow} \rm tvrzení\ věty.$$ \qed } } %\TODO{Tady něco chybí! (Strana 56, nebo tak něco.)} \penalty-100 \theorem{3}{o lokální omezenosti funkce s vlastní limitou}{ Nechť $f$ má v $a \in \real$ vlastní limitu. Potom existuje $\delta>0$ taková, že $f$ je na $\cP(a,\delta)$ omezená. \proof{ \shortdef{Víme}{Pro $\forall{\eps > 0}$ $\existss{\delta > 0}$ takové, že $f(\cP(a,\delta)) \le \cU(a,\eps)$.} Limita je vlastní, $A \in \real$ $\Rightarrow \cU(A,\eps): (A-\eps, A+\eps)$. Zvol $\eps = 1$. Pak existuje $\delta>0$ taková, že: $$f(\cP(a,\delta)) \le \cU(A,1)$$ $$f(x) \in (A-1,A+1)\quad \forall{x \in \cP(A,\delta)}$$ $$\Rightarrow f \textbox{je omezená na} \cP(a,\delta)$$ \qed } \note{ %\TODO{A tady chybí kus ze strany 58.} } } \theorem{4}{o aritmetice limit funkcí}{ Nechť \M{\lim_{x\to a} f(x) = A}, \M{\lim_{x\to a} g(x) = B}, $a \in \real^*$. Pak: \list{ \listItem{\M{\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = A+B}, je-li výraz vpravo definován.} \listItem{\M{\lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = AB}, je-li výraz vpravo definován.} \listItem{\M{\lim_{x\to a} {f(x)/g(x)} = {A/B}}, je-li výraz vpravo definován.} } \proof{ \scpart{(i)}{ Zvol posloupnost $\{x_n\}$, $\lim_{n\to \infty} x_n = a$, $x_n \ne a$. Potom dle \ref{Heine 1}: $$\lim_{n\to \infty} f(x_n) = A$$ $$\lim_{n\to \infty} g(x_n) = B$$ $$\becauseof{\ref{VOAL}}{\Longrightarrow} \lim_{x\to \infty} (f(x_n) + g(x_n)) = A + B$$ a protože je posloupnost libovolná, $$\becauseof{\ref{Heine 2}}{\Longrightarrow} \lim_{x\to \infty} (f(x) + g(x)) = A + B$$ } (ii), (iii) analogicky. \qed } } \penalty-1000 \theorem{5}{o uspořádání a funkčních policajtech}{ \list{ \listItem{Nechť $\lim_{x\to a} f(x) > \lim_{x\to a} g(x)$, $a \in \real^*$. Pak existuje prstencové okolí $\cP(a,\delta)$ takové, že pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ platí $f(x) > g(x)$. } \listItem{Nechť pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ platí $f(x) \le g(x)$ a nechť existuje $\lim_{x\to a} f(x)$ a $\lim_{x\to a} f(x)$. Potom $\lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} g(x)$. } \listItem{Nechť pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ platí $f(x) \le h(x) \le g(x)$ a nechť $\lim f(x) = \lim g(x)$. Potom existuje $\lim h(x)$ a $\lim f(x) = \lim h(x) = \lim g(x)$. (``Policajti.'') } } \proof{ \list{ \listItem{Nechť $\lim_{x\to a} f(x) = A$, $\lim_{x\to a} g(x) = B$, $A > B$. Zvolím $\eps > 0$ tak, aby $\cU(A, \eps) \cap \cU(B, \eps) = \emptyset$ (futrály se nepotkají). K tomuto $\eps$ existuje $\delta$ taková, že: $$ f(\cP(a,\delta)) \subseteq \cU(A,\eps),\ g(\cP(a,\delta)) \subseteq \cU(B,\eps) $$ $$ \Rightarrow f(x) > g(x)\qquad \forall x \in \cP(a,\delta) $$ } \listItem{Skoro totéž.} \listItem{Zvolím $\eps > 0$, pak existuje $\delta_0 > 0$ taková, že: $$ f(\cP(a,\delta_0)) \subseteq \cU(A,\eps),\ g(\cP(a,\delta_0)) \subseteq \cU(A,\eps)$$ $$\Rightarrow \gamma = \min(\delta,\delta_0):\ h(\cP(A,\gamma)) \subseteq \cU(A,\eps)$$ $$\Rightarrow \lim_{x\to a} h(x) = A$$ } \qed } } } \note{ Všechny věty v této části platí i pro jednostranné limity. Např. Heine: $$ \lim_{x\to a_+} f(x) \Longleftrightarrow \cases{x_n \in \cP(f) &\cr x_n \in \cP^+(a,\delta) &pro nějaké $\delta>0$\cr \lim_{n\to \infty} x_n = a &\cr} $$ $$ \Longrightarrow \lim_{n\to \infty} f(x_n) = A $$ } \examples{ \list{ \listItem{\M{\lim_{x\to 0} xD(x) = 0} %\TODO{tady něco chybí$\ldots$} } %\listItem{ % \TODO{$\ldots$!} %} \listItem{\M{\lim_{x\to\infty} \sin(x)} neexistuje (\ref{Heine}). Stačí zvolit posloupnost $\{x_n\}$, $x_n \to \inf$, $\lim f(x_n) = \lim \sin(x_n)$. Volíme $x_n = {n\pi/2}$. $x_n = \{1,0,-1,0,1,0,-1,\ldots\}$. Limita neexistuje. } \listItem{\M{\lim_{x\to 0_+} \sin({1/x})} Zvolím $x_n = {2/(\pi n)}$, použijeme \ref{Heine}ho větu. } } } \scpart{Spojitá funkce}{ $a \in \real$, $f$ je {\bf spojitá} v $a$, právě když: $$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$ $$\Longleftrightarrow \forall \eps > 0\ \existss \delta > 0:\ f(\cU(a,\delta)) \subseteq \cU(f(a),\eps)$$ $f$ je {\bf spojitá zprava} v $a$, právě když výše uvedené platí pro $x\to a_+$ a $f(\cU^+(a,\delta))$. $f$ je {\bf spojitá zleva} v $a$, právě když výše uvedené platí pro $x\to a_-$ a $f(\cU^-(a,\delta))$. \scpart{Důsledek \ref{VOALF}:}{ Nechť $f$ a $g$ jsou spojité v bodě $a \in \real$. Pak $f\pm g$ a $f\cdot g$ jsou také spojité v $a \in \real$. A~jestliže navíc $g(a) \ne 0$, pak také podíl $f/g$ je spojitý v bodě $a \in \real$. \example{ Neboť $\lim_{x\to a} x = a\quad \forall a \in \real$, je každá funkce tvaru $$ \cP(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + ax + a_0\qquad (a_0,a_1,\ldots,a_n \in \real) $$ spojitá v každém bodě $a \in \real$. Takovou funkci nazýváme {\bf polynom}. } } } \scpart{Složená funkce}{ $\sin(x^2)$ je funkce složená. Podobné jako skládání zobrazení: $$ x \opupon{g}{\mapsto} g(x) \opupon{f}{\mapsto} f(g(x)) \Longleftrightarrow (f \circ g) $$ $ (f \circ g)(x) \defined f(g(x)) $ --- {\bf složená funkce}. $f$ nazýváme {\bf vnější funkce}, $g$ {\bf vnitřní funkce}. Např.: $$ g(x) = x^2,\ f(y) = \sin(y) \Rightarrow (f \circ g)(x) = \sin(x^2) $$ \shortdef{Varování}{Skládání zobrazení není komutativní! $(g \circ f)(y) = (\sin y)^2$} Nechť: $$ \lim_{x\to a} g(x) = A $$ $$ \lim_{x\to A} f(y) = B \textnote{Pozor na $x \to A$!} $$ Platí pak, že $\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = B$? Neplatí! \example{ $$ g(x) \equiv 0 $$ $$ f(x) \cases{0 & $x \ne 0$\cr 1 & $x = 0$} $$ $$ (f \circ g)(x) \equiv 1 $$ $$ \lim_{x\to 0} (f \circ g)(x) = 1 $$ \penalty-100 Ale: $$ \lim_{x\to 0} g(x) = 0 $$ $$ \lim_{y\to 0} f(y) = 0 $$ (blíží se k 0, ale nikdy tam nedorazí). \XXX } Co děláme špatně? \list{ \listItem{Vnitřní funkce je konstantní.} \listItem{Vnější funkce je nespojitá v tomto bodě.} } \theorem{6}{o limitě složené funkce}{ Nechť $\lim_{x\to a} g(x) = A$ (vnitřní funkce), $\lim_{y\to A} f(y) = B$ (vnější funkce); $a, A, B \in \real^*$. Nechť navíc platí jeden z předpokladů: \list{ \namedListItem{P1}{$f$ je spojitá v bodě $A$.} \namedListItem{P2}{$\existss \delta > 0$ taková, že $g(x) \ne A$ pro $\forall x \in \cP(a,\delta)$ (tedy se vnitřní funkce ``vyhýbá'' své limitě).} } Potom platí: \M{\lim_{x\to a} (f \circ g)(x) = B}. \proof{ \note{ Proč věta nelze dokázat bez předpokladů? Lžidůkaz: Ke zvolenému $\eps > 0$ najdu $\psi > 0$ takové, že: $$ f(\cP(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$ K $\psi > 0$ $\existss \mu > 0$ takové, že: $$ g(\cP(a,\mu)) \subseteq \cU(A,\psi) $$ $$ \hypothetically{\Rightarrow} (f \circ g)(\cP(A,\mu)) \subseteq f(\cU(A,\psi)) $$ Chci tak $\subset \cU(B,\eps)$, to ale nejde! Místo $f(\cU(A,\psi))$ bychom v tom případě museli použít $f(\cP(A,\psi))$. } Možné cesty z nouze: \list{ \listItem{Už od začátku si vezmu $\cU(A,\psi)$ --- požaduji spojitost.} \listItem{Nebo vnitřní funkci zakáži, aby nabývala své limity --- dostanu $\cP(A,\psi)$.} } Tedy: \list{ \namedListItem{P1}{Zvol $\eps > 0$: $$ \existss \psi > 0 : f(\cU(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$ ($\cU(A,\psi)$ místo $\cP$ si mohu dovolit, neboť je $f$ v bodě $A$ spojitá, tj. $f(A) = B$.) $$ \existss \mu : g(\cP(a,\mu)) \subseteq \cU(A,\psi) $$ $$ (f \circ g)(\cP(a,\mu)) = f(g(\cP(a,\mu))) \subseteq f(\cU(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$ } \namedListItem{P2}{Zvol $\eps > 0$: $$ \existss \psi > 0 : f(\cP(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$ Neboť $g(x) \ne A$ pro $x \in \cP(a,\delta)$ a k $\psi$: $$ \existss \mu : g(\cP(a,\mu)) \subseteq \cU(A,\psi) $$ $$ \gamma = \min(\delta,\mu) : g(\cP(a,\gamma)) \subseteq \cP(A,\psi) $$ $$ f(g(\cP(a,\mu))) \subseteq f(\cP(A,\psi)) \subseteq \cU(B,\eps) $$ } } \qed } } } % scpart Složená funkce \scpart{Intervaly}{ Nechť $a,b \in \real^*,\ a < b$. Pak {\bf otevřeným intervalem} $(a,b)$ nazýváme množinu všech $\{x \in \real,\ a 0$ a definujeme množinu $M = f((a,b)) = \{f(x),\ x \in (a,b)\}$. Potom definujeme $A := \inf M$. Z (ii) vlastnosti infima: $$ \existss x_0,\ x_0 \in (a,b): A \le f(x) \le f(x_0) \qquad \forall x \in (a,x_0) $$ Tedy: $$ f(x) \in \cU(A,\eps) $$ Tudíž $f((a,x_0)) \subseteq \cU(A,\eps)$ a stačí zvolit $\delta > 0$, aby $\cP^+(a,\delta) \subseteq (a,x_0)$. Tedy $$ \lim_{x \to a_+} f(x) = A $$ Analogicky další případy. \qed } } } \bend