\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \chapter{Průběh funkce}{ \exercise{ Vyšetřete průběh funkce $$ f(x) = \arcsin\left(2x\over1+x^2\right) $$ \list{ \nlistItem{ $D(f)$ $$ \eqalign{D\left(2x\over1+x^2\right) &= \real \cr D(\arcsin) &= [-1,1] } $$ $$ \Rightarrow D(f) = \{x\in\real,\ -1 \le {2x\over1+x^2} \le 1\} $$ $$ \sesac{ \eqalign{ -1 &\le {2x\over1+x^2}\cr -1-x^2 &\le 2x\cr 0 &\le 1+2x+x^2 = (x+1)^2 } }{ \Rightarrow x \in \real} $$ $$ \sesac{ \eqalign{ {2x\over1+x^2} &\le 1\cr 2x &\le 1+x^2\cr 0 &\le 1-2x+x^2 = (x-1)^2 } }{ \Rightarrow x \in \real} $$ $$ \Rightarrow D(f) = \real $$ \shortdef{Obor spojitosti}{ $2x$, $1+x^2$ --- polynomy $\Rightarrow$ spojité na $\real$. $\sin$ spojitý a ryze monotonní na $\left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]$ $\Rightarrow$ dle \href{věta o inverzní funkci}{věty o inverzní funkci} je $\arcsin$ spojitý na $[-1,1]$ $\Rightarrow$ dle \ref{VOLSF} (P1) je $f$ spojitá na $\real$. } } \nlistItem{ Průsečík s osou $y$: $f(0) = 0$, $[0,0]$ Průsečík(y) s osou $x$: $f(x) = 0 \Leftrightarrow {2x\over1+x^2}=0 \Rightarrow x=0$, $[0,0]$ } \nlistItem{ Symetrie: Funkce je lichá, neboť $$ f(-x) = \arcsin\left(-2x\over1+(-x)^2\right) = -\arcsin\left(2x\over1+x^2\right) = -f(x) $$ ($\arcsin$ je lichý). Funkce není sudá (neboť $f \not\equiv 0$) nebo $f(1) = {\pi\over2}$, ale $f(-1) = -{\pi\over2}$. Funkce není periodická, neboť $f(0) = 0$, ale $f(x) \ne 0\ \forall x \in \real \setminus \{0\}$. } \nlistItem{ Limity v $\pm\infty$: \scpart{$$\lim_{x\to -\infty} f(x)$$}{ $$\lim_{x\to -\infty} {2x\over1+x^2} = 0$$ $$\lim_{x\to 0} {\arcsin(y)} = 0$$ $\arcsin$ je spojitý v 0 $\Rightarrow$ (P1) $$ \Rightarrow \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0$$ } Z lichosti (nebo analogickým výpočtem) $$\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0$$ } \nlistItem{ První derivace: $$f'(x) = {1\over\sqrt{1-\left(2x\over1+x^2\right)^2}}\cdot{2(1+x^2)-2x\cdot2x\over(1+x^2)^2}$$ $$= {2(1-x^2)\over(1+x^2)\sqrt{(1+x^2)^2-4x^2}} = {2(1-x^2)\over(1+x^2)\sqrt{(1+x^2)^2}}$$ $$\Rightarrow f'(x) = {2\over1+x^2}\cdot{1-x^2\over\sqrt{(1-x^2)^2}}$$ pro $x \ne \pm1$. \shortdef{Pozn.}{$\sqrt{y^2} = |y|$} $$\Rightarrow f'(x) = {2\over1+x^2}\cdot{1-x^2\over|1-x^2|},\ x \in \real \setminus \{\pm1\}$$ \shortdef{Pozn.}{${y\over|y|} = \sign(y)$ jen pro $y\ne0$!} \startRuledTable & $(-\infty,-1)$ & $(-1,1)$ & $(1,\infty)$ \cr $f'(x)$ & $-{2\over1+x^2}$ & ${2\over1+x^2}$ & $-{2\over1+x^2}$ \cr \endRuledTable Existuje $f'(\pm1)$? Nevíme, ale spočítáme $f'_\pm(\pm1)$. Dvě možnosti: \list{ \olistItem{Z definice: $f'_+(1) = \lim_{x\to 1+} {f(x)-f(1)\over x-1}$} \olistItem{Z věty o limitě derivací: $f'_+(1) = \lim_{x\to 1+} f'(x)$, $f$ je spojitá na $\cP^+(1)$.} } Z věty o limitě derivací: $$ f'_+(1) = \lim_{x\to 1_+} f'(x) = \lim_{x\to 1_+} {-2\over1+x^2} \becauseof{dosazení + spojitost}{=} {-2\over1+x} = -1 $$ $$ f'_-(-1) = \lim_{x\to 1_-} {f(x)-f(1)\over x-1} = \lim_{x\to 1_-} {\arcsin\left(2x\over1+x^2\right)-{\pi\over2}\over x-1} $$ $$ \becauseof{L'H ``${0\over0}$''}{=} \lim_{x\to 1_-} {2\over1+x^2} \becauseof{dosazení}{=} {2\over1+1} = 1 $$ $$ \Rightarrow f'(1) \textbox{neexistuje} $$ (Analogicky $f'(-1)$ neexistuje. Buď z lichosti nebo analogickým výpočtem.) } \nlistItem{ Intervaly monotonie: \startRuledTable $(-\infty,-1)$ & $(-1,1)$ & $(1,\infty)$ \cr $f'<0 \Rightarrow \nearrow$ & $f'>0 \Rightarrow \searrow$ & $f'<0 \Rightarrow \nearrow$ \cr \endRuledTable } \nlistItem{ Extrémy: Mohou být jen v bodech $x$, kde $f'(x)$ neexistuje nebo $f'(x) = 0$. $$\eqalign{f'(x) = 0 &\ \ldots\ \textbox{neexistují}\cr f'(x) \not\exists &\ \ldots\ x = \pm1,\ \textbox{kandidáti na extrém}}$$ \list{ \rlistItem{$x=-1$: $$\sesac{\eqalign{ f \searrow &\ \ldots\ \cP^-(-1,\delta)\cr f \nearrow &\ \ldots\ \cP^+(-1,\delta)} }{\Rightarrow -1 \textbox{je bod lokálního minima}}$$ } \rlistItem{$x=1$: Z lichosti: $x=1$ je bod lokálního maxima. Další extrémy $f$ nemá. } } Jsou extrémy globální? \list{ \rlistItem{$x=-1$: $$\eqmalign{ f \searrow&\ \ldots&\ (-\infty,-1) &\Rightarrow f(y) \ge f(-1)&\hfill\qquad \forall y \in (-\infty,-1)\cr f \nearrow&\ \ldots&\ (-1,1) &\Rightarrow f(y) \ge f(-1)&\hfill\qquad \forall y \in (-1,1)\crcr }$$ $$f(-1) = -{\pi\over2},\qquad f(y) \le 0\quad \forall x \in (1,\infty) \Rightarrow f(y) \ge f(-1)$$ Tedy -1 je globální minimum. } \rlistItem{$x=1$: Z lichosti: $x=1$ je bod globálního maxima. } } } \nlistItem{ Druhá derivace, konvexita: $$ \left(2\over1+x^2\right)' = {-2\over(1+x^2)^2}\cdot2x = {-4x\over(1+x^2)^2} $$ \startRuledTable & $(-\infty,-1)$ & $(-1,1)$ & $(1,\infty)$ \cr $f'(x)$ & $-{2\over1+x^2}$ & ${2\over1+x^2}$ & $-{2\over1+x^2}$ \cr $f''(x)$ & ${4x\over(1+x^2)^2}$ & $-{4x\over(1+x^2)^2}$ & ${4x\over(1+x^2)^2}$ \cr & $f''<0$ $\Rightarrow$ $\cup$ (konk.) & \vbox{\everycr{}\halign{#&#\cr $f''>0$ na $(-1,0)$ & $\Rightarrow$ $\cap$\cr $f''<0$ na $(0,1)$ & $\Rightarrow$ $\cup$\cr}} & $f''>0$ $\Rightarrow$ $\cap$ (konv.)\cr \endRuledTable \startRuledTable $(-\infty,-1)$ & $(-1,0)$ & $(0,1)$ & $(1,\infty)$ \cr $\cap$ & $\cup$ & $\cap$ & $\cup$ \cr \endRuledTable $f''(\pm1)$ neexistuje, neboť $f'(\pm1)$ neexistuje. } \nlistItem{ Inflexní body: Buď $f''$ $\not\exists$ nebo $f''(x) = 0$. $f'' \not\exists$: $x=\pm1$ --- bod inflexe není, neboť $\not\exists f'$. $f''(x) = 0$: $x=0$ --- kandidát na inflexi. \medskip $$\sesac{ \eqalign{ f'' > 0&\ \ldots\ \cP^-(0,\delta)\cr f'' < 0&\ \ldots\ \cP^+(0,\delta) } }{ \Rightarrow x=0 \textbox{je inflexním bodem.} } $$ \medskip Jiné inflexní body $f$ nemá (nutná podmínka jinde nesplněna). } \nlistItem{ Asymptoty: $$\lim_{x\to \infty}{f(x)\over x} = \lim_{x\to \infty}{\arcsin({2x\over1+x^2})\over x} = 0$$ $$\lim_{x\to \infty}\left(f(x)-0x\right) = 0$$ $$ a = b = 0 $$ Nulová přímka, tedy osa x. } \nlistItem{ Obor hodnot: $$H(f) = \left[-{\pi\over2},{\pi\over2}\right]$$ $$\eqalign{-{\pi\over2} &\ \ldots\ \textbox{globální minimum,} -{\pi\over2} = f(-1)\cr {\pi\over2} &\ \ldots\ \textbox{globální maximum,} {\pi\over2} = f(1)}$$ $$\becauseof{\ref{Darboux}}{\Rightarrow} f \textbox{nabývá každé mezihodnoty} $$ } } } } \bend