\input /home/pasky/school/fastex/lib.tex \subchapter{Konvergence posloupností funkcí}{ \definition{ Nechť $M \subset \real$, $n \in \nat$ a $f_n$ je posloupnost funkcí definovaných na $M$. Řekneme, že posloupnost $f_n$ {\bf konverguje bodově k $f$ na $M$} a značíme $$f_n \conP f \textbox{na $M$}$$ jestliže $$ \forall x \in M: \lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x) $$ neboli $$ \forall x \in M,\ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0: |f_n(x) - f(x)| < \eps $$ Řekneme, že posloupnost $f_n$ {\bf konverguje stejnoměrně k $f$ na $M$} a značíme $$f_n \conS f \textbox{na $M$}$$ jestliže $$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0,\ \forall x \in M: |f_n(x) - f(x)| < \eps $$ Řekneme, že posloupnost $f_n$ {\bf konverguje lokálně stejnoměrně k $f$ na $M$} a značíme $$f_n \conSL \textbox{na $M$}$$ jestliže $$ \forall x \in M\ \existss \delta > 0: f_n \conS f \textbox{na $M \cap \cU(x,\delta)$} $$ } \examples{ \list{ \listItem{$f_n(x) := x^n$, $x \in [0,1]$, $n \in \nat$ Potom $f_n$ konverguje na $[0,1]$ bodově, ale ne stejnoměrně, k funkci $$ f(x) = \cases{0 & $x \in [0,1)$\cr 1 & $x = 1$} $$ Platí však, že $f_n \conSL f$ na $[0,1)$. } \listItem{\M{g_n(x) := \sin(nx)/2^n}, $x \in [0,1]$, $n \in \nat$ Potom $g_n$ konverguje na $[0,1]$ stejnoměrně k identicky nulové funkci, neboli $f_n \conS 0$ na $\real$, neboť $$ |f_n(x) - 0| \le 1/2^n \conP 0 $$ (nezávisle na $x$). } \listItem{\M{f_n(x) := {nx \over 1 + n^2x^2}}, $x \in (0,\infty)$, $n \in \nat$ Potom $f_n \conP 0$ a $f_n \conSL 0$ na $(0,\infty)$. Přitom však $f_n \not\conS 0$, neboť $f_n(1/n) = 1/2$ pro $n \in \nat$. } } } \penalty-100 \notes{ \list{ \listItem{Srovnání typů konvergence: $$ f_n \conS f \Longrightarrow f_n \conP f $$ } \listItem{Posloupnost funkcí $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje lokálně stejnoměrně na otevřeném intervalu $(a,b)$, právě když konverguje stejnoměrně na každém jeho uzavřeném podintervalu: $$ f_n \conSLi{f}{(a,b)} \Longrightarrow f_n \conSi{f}{[\alpha,\beta]} \qquad \forall [\alpha,\beta] \subset (a,b) $$ (netriviální, je třeba si rozmyslet). } \listItem{Bodová konvergence nemusí zachovat omezenost ani integrovatelnost. Vezměme například tzv. funkční řezy: $$ f_n(x) := \cases{1/x & $x \in [1/n,1)$\cr n & $x \in (0,1/n]$} $$ To je posloupnost omezených a integrovatelných funkcí na $(0,1)$, jenž konverguje bodově k funkci $1/x$, která není na $(0,1)$ omezená ani integrovatelná: $$ \newtint{0}{1} {dx \over x} = \lim_{x\to1_-}\log x - \lim_{x\to0_+}\log x = 0 + \infty = \infty $$ } } } \theorem{1}{kritérium stejnoměrné konvergence}{ Nechť $M \subset \real$ je neprázdná množina, $n \in \nat$ a nechť $f_n$ je posloupnost funkcí definovaných na $M$. Pak platí $$ f_n \conSi{f}{M} \Longleftrightarrow \lim_{n\to\infty} \sup_{x\in M} |f_n(x) - f(x)| = 0 $$ \proof{ $f_n \conSi{f}{M}$, právě když $$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0,\ \forall x \in M: |f_n(x) - f(x)| < \eps $$ Pokud toto platí pro každé $x$, musí to platit i pro supremum přes $x$, jen se musí změnit nerovnost na neostrou (supremum nemusí být prvkem množiny): $$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0: \sup_{x\in M} \{|f_n(x) - f(x)|\} \le \eps $$ Tím však zároveň říkáme, že limita tohoto suprema je nulová. \qed } } \penalty-1000 \examples{ Předchozí příklady z pohledu \ias{}{1}{}: \list{ \listItem{\M{\sup_{x\in[0,1]} |x^n-f(x)| = 1}} \listItem{\M{\sup_{x\in\real} \left|{nx\over1+n^2x^2}-0\right| \ge 1/2}} \listItem{\M{\sup_{x\in\real} \left|{\sin nx\over2^n}-0\right| < \sup_{x\in\real}1/2^n \conP 0}} } } \scpart{Otázka}{ Mějme $f_n \conSi{f}{(a,b)}$, $x_0 \in (a,b)$. Platí, že $$ \lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0} f_n(x) $$ Pro bodovou konvergenci však neplatí $$ \lim_{n\to\infty}\lim_{x\to1_-} x^n = 1 \ne \lim_{x\to1_-}\lim_{n\to\infty} x^n = 0 $$ Ale co pro stejnoměrnou? } \theorem{2}{Moore--Osgood}{ Mějme neprázdnou množinu $M \subset \real$, $x_0 \in \real^*$ a $n \in \nat$. Nechť $f_n$ je řada funkcí definovaných na $M$ a nechť platí následující dva předpoklady: \list{ \listItem{$f_n \conSi{f}{M}$} \listItem{Pro $\forall n \in \nat$ existuje \M{\lim_{x\to {x_0}_+} f_n(x) := a_n \in \real}. } } Potom existují vlastní limity $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{x\to {x_0}_+} f(x) $$ \proof{ Zvol $\eps > 0$, pak $$ \existss n_0 \in \nat,\ \forall n \ge n_0,\ \forall x \in M: |f_n(x) - f(x)| < \eps $$ $$ \forall m,n > n_0,\ \forall x \in M: |f_n(x) - f_m(x)| < 2\eps $$ (\ref{trojůhelníková nerovnost} pozpátku). $$ \sesac{\eqmalign{\lim_{x\to{x_0}_+} f_m(x) &:= a_m\cr \lim_{x\to{x_0}_+} f_n(x) &:= a_n}} {\Longrightarrow |a_n-a_m| \le 2\eps} $$ Tudíž posloupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ splňuje \ref{Bolzano-Cauchy}ovu podmínku, tedy $$ \existss a \in \real: \lim_{n\to\infty} a_n = a $$ $$ |f(x)-a| \becauseof{$\triangle$}{\le} \undernote{|f(x)-f_n(x)|}{A} + \undernote{|f_n(x)-a_n|}{B} + \undernote{|a_n-a|}{C} \qquad \forall n,x $$ Zvol $n \ge n_0$, pak $A < \eps$. $n$ lze zvolit tak velké, aby i $C < \eps$. Dále k tomuto $n$ zvolíme $\delta > 0$ takovou, aby $$\forall x \in \cP^+(x_0,\delta): B < \eps$$ Pak však také $$ \forall \eps > 0\ \existss \delta > 0,\ \forall x \in \cP^+(x_0,\delta): |f(x)-a| < 3\eps| $$ $$ \lim_{x\to x_0} f(x) = a $$ \qed } \impl{ Nechť $f_n \conSi{f}{I}$, kde $f_n$ je na $I$ spojitá. Potom $f$ je na $I$ také spojitá. \proof{ Mějme $x_0 \in I$, které není jeho pravý krajní bod. $$ \lim_{x\to {x_0}_+} f(x) \hypothetically{=} f(x_0) $$ $$ \lim_{x\to {x_0}_+} f(x) = \lim_{x\to{x_0}_+} \lim_{n\to\infty} f_n(x) \becauseof{\ias{}{2}{}}{=} \lim_{n\to\infty} \lim_{x\to{x_0}_+} f_n(x) $$ Neboť je však $f$ v $x_0$ spojitá, tato limita se rovná $$ \lim_{n\to\infty} f_n(x_0) \becauseof{$\scriptstyle{f_n \conP f}$}{=} f(x_0) $$ \qed } } \note{ Z (ii) implicitně vyplývá, že $M$ obsahuje nějaké okolí bodu $x_0$. Platí také analogická verze této věty pro jednostranné limity v bodě $x_0$. } } \lemma{}{ Posloupnost funkcí $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je na neprázdné množině $M \subset \real$ stejnoměrně konvergentní, právě když je tam {\bf stejnoměrně cauchyovská}: $$ \forall \eps > 0\ \existss n_0 \in \nat,\ \forall m,n \in \nat \ge n_0,\ \forall x \in M: |f_n(x) - f_m(x)| < \eps $$ } \theorem{3}{o záměně limity a derivace}{ Nechť funkce z $f_n$ mají vlastní derivace na $(a,b) \subset \real$, a nechť platí následující dva předpoklady: \list{ \listItem{$\existss x_0 \in (a,b): \{f_n(x_0)\}_{n=1}^\infty$ konverguje} \listItem{$f_n' \conSLi{g}{(a,b)}$ (kde $g$ je nějaká libovolná funkce)} } Potom existuje na $(a,b)$ funkce $f$, která má vlastní derivaci $f'$, $f_n \conSL f$ a $f_n' \conSL f'$. \proof{ Zvolíme předsedu vlády a $\eps > 0$. Dále zvolíme $[c,d] \subset (a,b)$ takové, aby $x_0 \in [c,d]$, a označíme $f_n' \conSL{g}{[c,d]}$. Pak k předsedovi vlády a $\eps$ jistě: $$\existss n_0,\ \forall m,n\ge n_0\ \forall x \in [c,d]: |f_n(x_0) - f_m(x_0)| < \eps \et |f_n'(x) - f_m'(x)| < {\rm p.v.}$$ Potom pro $x \in [c,d]$ máme: $$ |f_n(x) - f_m(x)| \becauseof{$\triangle$}{\le} |(f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0))| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)| $$ Použijeme Lagrangeovu větu o střední hodnotě pro $(f_0 - f_m)$ a zjistíme, že předchozí se rovná $$ |f_n'(\xi) - f_m(\xi)|\cdot|x-x_0| + |f_n(x_0) - f_m(x_0)|\qquad \xi \in (x,x_0)\lor(x_0,x) $$ $$ \eps|x-x_0| + \eps \le \eps|d-c+1|=K\eps \qquad K > 0 $$ Tudíž je posloupnost $\{f_n\}$ stejnoměrně cauchyovská: $$ \forall \eps > 0\ \existss n_0,\ \forall x: |f_n(x) - f_m(x)| < \eps $$ tedy $f_n \conSi{f}{[c,d]}$ a $f_n \conSLi{f}{(a,b)}$. Víme, že $f_n' \conSL g$ a $f_n \conSL f$. Zbývá dokázat, že $f' = g$. Pro $x \in [c,d]$ máme $$ f'(x) = \lim_{h\to0} {f(x+h)-f(x)\over h} = \lim_{h\to0}\lim_{n\to\infty}{f_n(x+h)-f_n(x)\over h} = $$ $$ \becauseof{\ias{}{2}{}}{=} \lim_{n\to\infty}\lim_{h\to0}{f_n(x+h)-f_n(x)\over h} = \lim_{n\to\infty} f_n'(x) = g(x) $$ \qed } \note{ Bez předpokladu (i) věta neplatí, jak je vidět na příkladu posloupnosti konstantních funkcí, která není bodově konvergentní, kupříkladu $$ f_n(x) \equiv (-1)^n \qquad n \in \nat,\ x \in \real $$ Derivace všech funkcí $f_n$ jsou pak nulové, a tedy triviálně stejnoměrně konvergují. Tento problém zachrání předpoklad (i), tedy jakási konvergence v ``záchytném bodě''. } } \theorem{4}{stejnoměrná limita a newtonovsky derivovatelné funkce}{ Mějme $f_n \in N(a,b)$, $f_n \conSi{f}{(a,b)}$. Potom také $f \in N(a,b)$ a platí, že $$ \lim_{n\to\infty} \newtint{a}{b}f_n(x)\,dx = \newtint{a}{b} f(x)\,dx $$ \proof{ $f_n \in N(a,b)$, tedy existuje primitivní funkce $F_n$, $F_n' = f_n$ na $(a,b)$. Zvolíme $c \in (a,b)$ a dále volíme primitivní funkce tak, aby $F_n(c) = 0$ pro $\forall n \in \nat$. Potom platí: \list{ \listItem{\M{\{F_n(c)\}_{n=1}^\infty} je nulová posloupnost, tedy je jistě konvergentní.} \listItem{\M{F_n' \conS f}} } Tudíž existuje $F$ na $(a,b)$ taková, že $F_n \conSL F$, $F' = f$. Dále $$ \newtint{a}{b} f(x)\,dx = \lim_{x\to b_-}\lim_{n\to\infty} F_n(x) - \lim_{x\to a_+}\lim_{n\to\infty} F_n(x) = $$ $$ \becauseof{\ias{}{2}{}}{=} \lim_{n\to\infty} \left(\lim_{x\to b_-} F_n(x) - \lim_{x\to a_+} F_n(x)\right) = \lim_{n\to\infty} \newtint{a}{b} f_n(x)\,dx $$ \qed } } \penalty-100 \theorem{5}{Dini}{ Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je monotónní posloupnost spojitých funkcí na uzavřeném intervalu $[a,b]$, která bodově konverguje ke spojité funkci. Potom $f_n \conS{f}{[a,b]}$. \shortproof{Neděláme. \sqed} } \theorem{6}{Weistrass}{ Nechť $f$ je spojitá funkce na uzavřeném intervalu $[a,b]$. Potom existuje posloupnost polynomů $\{P_n\}$ taková, že $P_n \conS f$. \shortproof{Nechceme. \sqed} \shortnote{Předpoklad uzavřenosti intervalu potřebujeme, např. $e^x$ nelze na $\real$ aproximovat polynomy.} } } \bend